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<math> \\ \max \left [ f\left ( \frac{\sqrt{6}}{2}\right ),f(1),f(2) \right ]=\frac{3}{4}\left (2 \sqrt{6}-3\right ),\min \left [ f\left ( \frac{\sqrt{6}}{2}\right ),f(1),f(2)\right ]= \\ 所以 \frac{0}{2-1}< \int_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x< \frac{\frac{3}{4}\left (2 \sqrt{6}-3\right )}{2-1} \\ 即0< \int_{1}^{2}(2x^{3}-x^{4})\mathrm{d}x< \frac{3}{4}\left (2 \sqrt{6}-3\right ) \\ 4.(1)F(x)=\int_{0}^{x}\sqrt{1+t}\mathrm{d}t \\ 解：F^{'}(x)=\sqrt{1+x} \\ (2)F(x)=\int_{x}^{-1}te^{-t}\mathrm{d}t \\ 解：原式=-\int_{-1}^{x}te^{-t}\mathrm{d}t \\ =-\int_{-1}^{0}te^{-t}\mathrm{d}t-\int_{0}^{x}te^{-t}\mathrm{d}t \\ 所以F^{'}(x)=\left ( -\int_{-1}^{0}te^{-t}\mathrm{d}t-\int_{0}^{x}te^{-t}\mathrm{d}t\right )^{'}=\left (-\int_{-1}^{0}te^{-t}\mathrm{d}t \right )^{'}-\left ( \int_{0}^{x}te^{-t}\mathrm{d}t\right )^{'} \\ =-xe^{-x} \\ (3)F(x)=\int_{0}^{x^{2}}\frac{1}{\sqrt{1+t^{4}}}\mathrm{d}t \\ 解：F^{'}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+ x^{8}}}\cdot 2x \\ =\frac{2x}{\sqrt{1+ x^{8}}} \\ <math>
<\math> \\ 5.(4)\int_{-2}^{3}\left ( x-1\right )^{3}\mathrm{d}x \\ 解：\int \left ( x-1\right )^{3}\mathrm{d}x=\frac{1}{4}\left ( x-1\right )^{4}+C \\ 故原式=\left [ \frac{1}{4}\left ( x-1\right )^{4}\right ]_{-2}^{3} \\ =\frac{1}{4}\left ( 3-1\right )^{4}-\frac{1}{4}\left ( -2-1\right )^{4}=-\frac{73}{4} \\ (13)\int_{-1}^{2}\left | 2x\right |\mathrm{d}x \\ 解：\int_{-1}^{2}\left | 2x\right |\mathrm{d}x=\int_{0}^{2}2x\mathrm{d}x-\int_{-1}^{0}2x\mathrm{d}x \\ \int 2x\mathrm{d}x=x^{2}+C \\ 故原式=\left [ x^{2}\right ]_{0}^{2}-\left [ x^{2}\right ]_{-1}^{0}=5 \\ 6.(7)\int_{0}^{\ln 2}\sqrt{e^{x}-1}\mathrm{d}x \\ 解：设\int\sqrt{e^{x}-1}\mathrm{d}x=I \\ 令t=\sqrt{e^{x}-1}，则x=\ln \left ( t^{2}+1\right )，\mathrm{d}x=\frac{2t}{t^{2}+1}， \\ I=\int \frac{2t^{2}}{t^{2}+1}\mathrm{d}t=2t-2\arctan t+C=2\sqrt{e^{x}-1}-2\arctan \sqrt{e^{x}-1}+C \\ 故原式=\left [ 2\sqrt{e^{x}-1}-2\arctan \sqrt{e^{x}-1}\right ]_{0}^{\ln 2}=2-\frac{\pi}{2} \\ (10)\int_{1}^{2}\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}\mathrm{d}x \\ 解：设\int\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}\mathrm{d}x=I \\ 令x=\frac{1}{\cos t}，则t=\arccos \frac{1}{x}，\mathrm{d}x=\frac{\sin t}{\cos^{2}t}\mathrm{d}t， \\ I=\int\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \cos t\cdot \frac{\sin t}{\cos^{2}t}\mathrm{d}t \\ =\int\tan^{2}t\mathrm{d}t=\tan t -t+C=\sqrt{x^{2}-1}-\arccos \frac{1}{x}+C \\ 故原式=\left [ \sqrt{x^{2}-1}-\arccos \frac{1}{x}\right ]_{1}^{2}=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3} \\ 12.(1)\int_{1}^{e}\ln x\mathrm{d}x \\ 解：\int\ln x\mathrm{d}x=x\ln x-x+C \\ 故原式=\left [x\ln x-x\right ]_{1}^{e}=1 \\ 12.(5)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\mathrm{d}x \\ 解：\int x\sin x\mathrm{d}x=\cos x-x\cos x+C \\ 故原式=\left [\cos x-x\cos x\right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1 <\math>