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<math> 23、(1) \\ 解：原式=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\cdot(\frac{1}{\cos x}-1)=0 \\ (2) \\ 解：原式=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2{\sin x}{\cos x}}{{\sin x}({\cos^{2} x}\sin^{2} x})+2{\sin x}{\cos^{2} x}} \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2{\cos x}}{3{\cos^{2} x{\sin^{2} x}} \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2{\cos x}}{4{\cos^{2} x}-1} \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2{\cos x}+1-1}{4{\cos^{2} x}-1} \\ =\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{2{\cos x}+1}+\frac{1}{4{\cos^{2} x}-1})=\frac{2}{3} \\ (3) \\ 解：原式=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x}{x+{\sin x}}+\fracTemplate:\sin x{x+{\sin x}}) \\ =\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{1+\frac{\sin x}{x}}+\frac{1}{1+\frac{x}{\sin x}})=0 \\ \\ 24、(1) \\ 解： \\ 令t={\frac{1}{2}}x \\ 則原式=\lim_{t\rightarrow {\infty}}(1+{\frac{1}{t}})^{4t} \\ =\lim_{t\rightarrow {\infty}}[(1+{\frac{1}{t}})^{t}]^{4} \\ =e^{4} \\ (3) \\ 解： \\ 令t=\frac{1}{2}}x \\ 则原式=\lim_{t\rightarrow {\infty}}(2+{\frac{1}{t}})^{-2t} \\ =\lim_{t\rightarrow {\infty}}[(1+{\frac{1}{2t}})^{2t}]^{-1}=\frac{1}{e} \\ (5) \\ 解：原式=\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{(1\frac{1}{\sqrt{x}}}})^{\sqrt{x}}\cdot{(1+{\frac{1}{\sqrt{x}}}})^{\sqrt{x}} \\ =\lim_{x\rightarrow {+\infty}}(\frac{1}{1+{\frac{1}{-\sqrt{x}}}})^{-\sqrt{x}}\cdot{(1+{\frac{1}{\sqrt{x}}}})^{\sqrt{x}} \\ =1 \\ (7) \\ 解：原式=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x}{\sin^{2}3x}\cdot\frac{\ln(1+2x)}{2x}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3} \\ 11、(3) \\ 解：原式=\lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}({x^{23})\cdot\lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}\frac{1}{x^{4}+x^{2}+1}=0 \\ (6) \\ 解：原式=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(4x^{2}+2x+1)}{x(3x+2)} \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x^{2}+2x+1}{3x+2} \\ =\frac{1}{2} \\ (7) \\ 解：原式=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-2)(x-1)}{(1-x)(1+x)} \\ =\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2-x}{1+x}=\frac{1}{2} \\ (11) \\ 解：原式=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2x+3}{6x-1} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2+\frac{3}{x}}{6-\frac{1}{x}}=\frac{1}{3} \\ (18) \\ 解：令t=\sqrt{1+x^{2}} \\ 则x\rightarrow 0时t\rightarrow 1 \\ 原式=\lim_{t\rightarrow 1}\frac{t^{21}{1-t} \\ =\lim_{t\rightarrow 1}(-1-t)=-2 \\ (20) \\ 不會做 \\ 14、 \\ 解：x\rightarrow 0時， \\ 顯然\lim_{x^{-}\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x^{-}\rightarrow 0}(x^{2}-2x)=0 \\ 假設存在極限，則有 \\\lim_{x^{+}\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x^{-}\rightarrow 0}f(x)=0 \\ 即\lim_{x^{-}\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}=0 \\ 即\forall \varepsilon > 0，\exists \delta > 0，x\in (0-\delta,0)，\left | \frac{1}{x^2}\right |< \varepsilon \\ 即x<-\sqrt{\varepsilon} \\ 當\varepsilon=1時， \\ x<-1 \\ 不存在\delta > 0，\forall x<-1，x\in (0-\delta,0)，\left | \frac{1}{x^2}\right |<1 \\ 所以x\rightarrow 0時不存在極限 \\ x\rightarrow 1時， \\ 存在極限\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}(x^{2}-2x)=-1 \\ x\rightarrow 2時， \\ \lim_{x^{-}\rightarrow 2}f(x)=\lim_{x^{-}\rightarrow 2}(x^{2}-2x)=0 \\ \lim_{x^{+}\rightarrow 2}f(x)=\lim_{x^{+}\rightarrow 2}(3x-6)=0 \\ \lim_{x^{-}\rightarrow 2}f(x)=\lim_{x^{+}\rightarrow 2}f(x)=0 \\ 所以存在極限\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=0 \\ x\rightarrow -\infty 時， \\ \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x^{2}}=0 \\ x\rightarrow +\infty 時， \\ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(3x-6)=+\infty \\ 33、 \\ 解： \\ 由初等函數的性質可得，f(x)在[0,1)和[1,2]上連續 \\ \lim_{x^{-}\rightarrow 1}=2 \\ \lim_{x^{-}\rightarrow 1}=2 \\ 所以\lim_{x \rightarrow 1}=2=f(x) \\ 所以f(x)在[0,2]上連續 \\ 34、(1) \\ 解： \\ 原式=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{2}x^{2}}{x^{2}}=\frac{1}{2} \\ (3) \\ 解： \\ 原式=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sqrt{2+x^{2}}(e^{x^{3}}-1)} \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sqrt{2+x^{2}}\cdot x^{3}} \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{\sqrt{2+x^{2}}\cdot x^{3}}\cdot \frac{1-\cos x}{\cos x} \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{2+x^{2}}\cdot x^{3}}\cdot \frac{\frac{1}{2}x^{2}}{\cos x} \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2\cos x\sqrt{2+x^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{4} \\ (4) \\ 解：令t=x-a \\ 原式=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\cos (t+a)-\cos (x-t)}{t} \\ =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\cos t(\cos a-\cos x)-\sin t(\sin a+\sin x)}{t} \\ =\lim_{t\rightarrow 0}(-2\cdot \frac{\cos t\sin\frac{a+x}{2}\sin\frac{a-x}{2}+\sin t\sin\frac{a+x}{2}\cos\frac{a-x}{2}}{t}) \\ =\lim_{t\rightarrow 0}(-2\cdot\sin\frac{a+x}{2}\cdot \frac{\sin t\cos \frac{t}{2}-\cos t\sin \frac{t}{2}}{t}) \\ =\lim_{t\rightarrow 0}(-2\cdot\sin\frac{a+x}{2}\cdot \sin\frac{t}{2}\cdot\frac{1}{t}) \\ =\lim_{t\rightarrow 0}(-2\cdot\sin\frac{a+x}{2}\cdot \frac{t}{2}\cdot\frac{1}{t}) \\ =\lim_{t\rightarrow 0}(-\sin \frac{a+x}{2}) \\ =\lim_{t\rightarrow 0}(-\sin \frac{2a}{2})=-\sin a </math>