Template:Sandbox：修订间差异

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 {{SandboxNote}}
-套娃测试
+<math>23、(1)
-{{Template:娃}}
+\\
+解：原式=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\cdot(\frac{1}{\cos x}-1)=0
+\\
+(2)
+\\
+解：原式=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2{\sin x}{\cos x}}{{\sin x}({\cos^{2} x}-{\sin^{2} x})+2{\sin x}{\cos^{2} x}}
+\\
+=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2{\cos x}}{3{\cos^{2} x}-{\sin^{2} x}}
+\\
+=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2{\cos x}}{4{\cos^{2} x}-1}
+\\
+=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2{\cos x}+1-1}{4{\cos^{2} x}-1}
+\\
+=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{2{\cos x}+1}+\frac{1}{4{\cos^{2} x}-1})=\frac{2}{3}
+\\
+(3)
+\\
+解：原式=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x}{x+{\sin x}}+\frac{{\sin x}}{x+{\sin x}})
+\\
+=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{1+\frac{\sin x}{x}}+\frac{1}{1+\frac{x}{\sin x}})=0
+\\
+\\
+、(1)
+\\
+解：
+\\
+令t={\frac{1}{2}}x
+\\
+则原式=\lim_{t\rightarrow {\infty}}(1+{\frac{1}{t}})^{4t}
+\\
+=\lim_{t\rightarrow {\infty}}[(1+{\frac{1}{t}})^{t}]^{4}
+\\
+=e^{4}
+\\
+(3)
+\\
+解：
+\\
+令t=-{\frac{1}{2}}x
+\\
+则原式=\lim_{t\rightarrow {\infty}}(2+{\frac{1}{t}})^{-2t}
+\\
+=\lim_{t\rightarrow {\infty}}[(1+{\frac{1}{2t}})^{2t}]^{-1}=\frac{1}{e}
+\\
+(5)
+\\
+解：原式=\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{(1-{\frac{1}{\sqrt{x}}}})^{\sqrt{x}}\cdot{(1+{\frac{1}{\sqrt{x}}}})^{\sqrt{x}}
+\\
+=\lim_{x\rightarrow {+\infty}}(\frac{1}{1+{\frac{1}{-\sqrt{x}}}})^{-\sqrt{x}}\cdot{(1+{\frac{1}{\sqrt{x}}}})^{\sqrt{x}}
+\\
+=1
+\\
+(7)
+\\
+解：原式=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x}{\sin^{2}3x}\cdot\frac{\ln(1+2x)}{2x}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}
+\\
+、(3)
+\\
+解：原式=\lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}({x^{2}-3})\cdot\lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}\frac{1}{x^{4}+x^{2}+1}=0
+\\
+(6)
+\\
+解：原式=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(4x^{2}+2x+1)}{x(3x+2)}
+\\
+=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x^{2}+2x+1}{3x+2}
+\\
+=\frac{1}{2}
+\\
+(7)
+\\
+解：原式=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-2)(x-1)}{(1-x)(1+x)}
+\\
+=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2-x}{1+x}=\frac{1}{2}
+\\
+(11)
+\\
+解：原式=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2x+3}{6x-1}
+\\
+=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2+\frac{3}{x}}{6-\frac{1}{x}}=\frac{1}{3}
+\\
+(18)
+\\
+解：令t=\sqrt{1+x^{2}}
+\\
+则x\rightarrow 0时t\rightarrow 1
+\\
+原式=\lim_{t\rightarrow 1}\frac{t^{2}-1}{1-t}
+\\
+=\lim_{t\rightarrow 1}(-1-t)=-2
+\\
+(20)
+\\
+不会做
+\\
+、
+\\
+解：x\rightarrow 0时，
+\\
+显然\lim_{x^{-}\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x^{-}\rightarrow 0}(x^{2}-2x)=0
+\\
+假设存在极限，则有
+\\\lim_{x^{+}\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x^{-}\rightarrow 0}f(x)=0
+\\
+即\lim_{x^{-}\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}=0
+\\
+即\forall \varepsilon > 0，\exists \delta > 0，x\in (0-\delta,0)，\left | \frac{1}{x^2}\right |< \varepsilon
+\\
+即x<-\sqrt{\varepsilon}
+\\
+当\varepsilon=1时，
+\\
+x<-1
+\\
+不存在\delta > 0，\forall x<-1，x\in (0-\delta,0)，\left | \frac{1}{x^2}\right |<1
+\\
+所以x\rightarrow 0时不存在极限
+\\
+x\rightarrow 1时，
+\\
+存在极限\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}(x^{2}-2x)=-1
+\\
+x\rightarrow 2时，
+\\
+\lim_{x^{-}\rightarrow 2}f(x)=\lim_{x^{-}\rightarrow 2}(x^{2}-2x)=0
+\\
+\lim_{x^{+}\rightarrow 2}f(x)=\lim_{x^{+}\rightarrow 2}(3x-6)=0
+\\
+\lim_{x^{-}\rightarrow 2}f(x)=\lim_{x^{+}\rightarrow 2}f(x)=0
+\\
+所以存在极限\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=0
+\\
+x\rightarrow -\infty 时，
+\\
+\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x^{2}}=0
+\\
+x\rightarrow +\infty 时，
+\\
+\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(3x-6)=+\infty</math>